수학은 외롭지 않다: 가족의 대화가 학습이 되는 "퍼즐 교재"란

겨울 방학, 수학이 멈추는 문제

연말연시는 가족의 일정도 생활 리듬도 확 바뀐다. 밖은 춥다. 집 안에서 보내는 시간이 길어진다. 그때 갑자기 등장하는 것이 보드 게임이나 카드 게임이다. 놀이로서의 "테이블 시간"이 늘어나는 한편, 아이들의 학습 면은 어쩔 수 없이 "중단"되기 쉽다.

하지만 여기서 흔히 있는 실패가 있다. "늦어진 것을 만회하기 위해, 방학 중에도 평소와 같은 '수업'을 가정에 도입하는" 것이다. 부모 자식 모두 피곤해지고, 학습은 벌칙 게임화되기 쉽다. 그렇다면, 겨울 방학을 '수업화'하지 않으면서도 수학의 학습을 앞으로 나아가게 하는 방법은 없을까──그 답으로 소개된 것이 Tarsia(타르시아)라는 퍼즐 형식의 수학 퍼즐이었다. Phys.org

"푸는" 것보다 먼저 "맞추는"? Tarsia 퍼즐이란

Tarsia 퍼즐은, 종이에 인쇄한 기하학 타일(정사각형이나 삼각형 등)을 잘라, 변과 변을 '대응'시켜 큰 도형을 완성하는 학습 퍼즐이다. 변에는 계산식, 답, 그래프, 다른 표현 등이 적혀 있으며, 올바른 대응 관계일 때만 "딱" 연결된다. 프린트하여 라미네이트하고, 여러 번 사용할 수 있는 형태로 만들어 자르는 것이 교실에서의 정석이라고 한다. Phys.org

흥미로운 점은, 학습의 입구가 "문제를 푸는" 것이 아니라 "관계를 알아차리고 맞추는" 것이 되어 있다는 점이다. 예를 들어 "도함수"와 "그 그래프"를 연결하거나, 분수와 소수와 백분율을 대응시키거나, 동치 변형으로 같은 의미가 되는 식을 찾는 등, 그런 '수학의 연결'을 손으로 만질 수 있는 작업으로 떨어뜨릴 수 있다.

그리고, 틀려도 빨간 펜으로 ×가 그어지는 것이 아니다. 맞지 않으면 다른 타일을 시도할 뿐이다. 여기에는 수학의 심리적 장벽을 낮추는 장치가 있다. Phys.org

왜 효과적인가: 액티브 러닝의 "요점"을 자연스럽게 밟다

기사가 강조한 것은, 수학은 본래 "생각을 말로 표현하고 시도하며, 틀리고, 고치는" 것으로 이해가 자란다는 것이다. Tarsia는 그것을 '놀이의 형태'로 강제적으로 일으킨다. 타일을 둘러싸면 자연스럽게 대화가 생긴다. "그거, 같은 식 아니야?", "이 그래프, 증가하니까 도함수는 양수...?"라고 설명, 반론, 수정이 돌아가기 시작한다. Phys.org

교육 연구의 세계에서도, 강의 일변도보다 액티브 러닝이 성적이나 이해, 실패율에 긍정적인 영향을 미친다는 대규모 분석이 알려져 있다. 예를 들어 학부 STEM 연구를 메타 분석한 논문에서는, 액티브 러닝 그룹의 시험 성적이 올라가고, 강의 중심의 수업은 실패(불합격) 위험이 높은 경향이 나타나고 있다. PubMed

Tarsia는, 이러한 "말하기, 시도하기, 고치기"를, 교사가 매번 '기합'으로 설계하지 않아도 일어나기 쉽게 한다. 즉, 교재 측에 액티브화의 레일이 깔려 있다.

대학의 미적분에서 보인 3가지 변화: "불안이 줄어든다/대화가 늘어난다/집중이 계속된다"

기사에서는, 토론토 메트로폴리탄 대학의 액티브 러닝 교실에서, 초년차의 미적분 학습에 Tarsia를 사용한 경험이 소개되어 있다. 거기서 관찰된 일관된 테마는 3가지였다.

1. 불안이 줄어든다: 평소에는 "틀리는 것이 무섭다"는 학생일수록 참여하기 쉬워지고, 실수가 인격 평가가 아니라 '탐색의 일부'가 된다.

2. 대화가 늘어난다: 서로 이유를 설명하고, 지적하고, 고치는 행동이 늘어나고, 기존의 튜토리얼에서는 보이기 어려운 학습의 움직임이 나타난다.

3. 집중이 계속된다: 워크시트보다 오래 작업하고, 평소에는 빨리 끝내는 학생이 마지막까지 남아 완성하는 경우도 있었다. Phys.org

더 관련된 보고로, Tasic과 Duah에 의한 MSOR Connections의 논문은, Tarsia(퍼즐 형식을 만들 수 있는 소프트웨어)를 사용하여, 공학계의 초년차 미적분 튜토리얼에서 구현한 것, 개념 이해, 협동, 동기 부여를 높일 가능성을 언급하고 있다(참여는 자발적이었다). 그리니치 대학 저널

여기서 중요한 것은, "퍼즐로 성적이 폭발적으로 상승!" 같은 단순한 이야기가 아니라는 것이다. 오히려 가치는, 학습의 '과정'이 시각화되는 점에 있다. 누가 어디서 막히고, 어떤 오해를 하고 있는지가, 변의 미스매치로 자연스럽게 드러난다. 집에서도 교실에서도, 지도가 '정답 맞추기'에서 '사고의 관찰'로 옮기기 쉬워진다.

가정에서 한다면: Tarsia를 "공부처럼 보이지 않게" 하는 요령

기사는, 보호자나 튜터(가정교사)에게도 Tarsia가 유용하다고 말한다. 포인트는 "가정을 작은 교실로 만들지 않는" 것이다. Phys.org

추천하는 운영은 다음과 같은 발상이다.

• 제한 시간은 느슨하게: "10분만"이라도 좋다. 완성을 목적으로 하지 않는다.

• 말 걸기는 '정답'보다 '보기'로: "어떤 변이 맞을 것 같아?", "같은 의미라고 어떻게 판단해?"

• 실수는 이벤트로: "지금은 틀렸네, 그럼 다음은 어떻게 할까?"를 템포 있게.

• 난이도 조정은 조각 수로: 처음에는 적은 조각, 익숙해지면 늘린다.

사실, 유아~초등학교 저학년의 일반적인 퍼즐에서도, 형태, 크기, 회전이나 반전 같은 공간 인지(spatial reasoning)를 자극하여, 수학이나 STEM의 기초가 될 수 있다는 이야기가 있다. 가정에서의 퍼즐 놀이에 "공간 어휘(각, 끝, 안쪽, 길다, 짧다 등)"를 더하면 효과가 높아진다는 제안도 소개되고 있다. Medium

즉, Tarsia는 나이가 들어도 '퍼즐의 학습'을 수학 내용에 연결하는 방법으로 이해하기 쉽다.

SNS의 반응: 실제로 나오는 목소리/그리고 "나오기 쉬운 논점"

1) 교육자 커뮤니티의 '체감'은 예전부터 강하다

Tarsia 형식의 퍼즐은 이번 기사로 갑자기 생긴 것이 아니라, 교육자들 사이에서는 이전부터 "수학의 대화가 늘어나는" 교재로 이야기되어 왔다. 예를 들어 교사 블로그에서는, Tarsia로 만든 퍼즐이 수업의 복습에 도움이 되고, 학생이 수학적으로 토론하는 모습을 관찰할 수 있다는 실천담이 쓰여 있다. 댓글란에도 "학구에 공유했더니 사용하는 사람이 늘었다"는 반응이 남아 있다. Chris Hunter

2) 이번 기사를 계기로 SNS에서 '나오기 쉬운' 반응 (편집부 재구성)

※여기부터는, 기사의 논점(가정 학습/저스트레스/협동)을 받아 SNS에서 일어나기 쉬운 반응을, 전형적인 패턴으로 재구성한 것이다. 특정 개인의 게시물 인용이 아니다.

• "이거, 겨울 방학의 가정 학습에 딱 좋을 것 같아. 프린트 한 장으로 시작할 수 있는 게 도움이 돼"

• "수학을 싫어해도 '게임'이라면 한다. 틀려도 혼나지 않는 설계가 좋아" Phys.org

• "자르는 게 힘든 문제. 라미네이트 & 컷 작업, 선생님 쪽의 부담이..." Phys.org

• "Windows 한정은 힘들어. 브라우저에서 만들 수 있고, 배포·공동 편집할 수 있다면 신이야" Phys.org

• "도함수×그래프, 분수×소수×％ 같은 **'대응시키기'는 확실히 이해가 깊어진다**" Phys.org

참고로 Phys.org 측의 표시에서는, 이 페이지 자체의 공유 수가 "1 share"로 표시되어 있으며(집계 범위는 불명), 폭발적인 확산보다는 '필요한 사람에게 필요한' 유형의 화제로 조용히 돌아다니는 인상도 있다. Phys.org##HTML