AI ได้ "แก้" ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์หรือไม่? การพิสูจน์ที่มีความยาว 13 ล้านบรรทัดซึ่งเสร็จสิ้นใน 11 วันกำลังเปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์

ปัญหาที่ยากที่สุดในรอบ 350 ปีที่ได้รับการ "พิสูจน์แล้ว" ใน 11 วัน

หนึ่งในปัญหาที่มีชื่อเสียงที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์กลับมาได้รับความสนใจจากทั่วโลกอีกครั้ง

ในเดือนกันยายน 2026 บริษัท Anthropic ได้ประกาศว่า AI ของบริษัทที่ชื่อว่า "Claude" ได้สร้างการพิสูจน์ในรูปแบบที่สมบูรณ์ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ด้วยคอมพิวเตอร์ตั้งแต่ต้นจนจบเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ การทำงานใช้เวลา 11 วัน โค้ด Lean ที่สร้างขึ้นมีจำนวนถึงประมาณ 13 ล้านบรรทัด ในระหว่างการทำงานมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทย่อย 33,000 รายการ โดย 29,500 รายการถูกใช้ในการพิสูจน์ขั้นสุดท้าย

เมื่อดูจากตัวเลขเหล่านี้ ดูเหมือนว่า AI ได้แก้ปัญหาที่ยากที่ทำให้มนุษย์ปวดหัวมาหลายศตวรรษในเวลาเพียง 11 วัน แต่มีความแตกต่างที่สำคัญอยู่ Claude ไม่ได้ค้นพบวิธีการแก้ปัญหาใหม่ แต่ได้แปลการพิสูจน์ที่ถูกสร้างขึ้นโดย Andrew Wiles และ Richard Taylor ในทศวรรษ 1990 ซึ่งได้รับการยอมรับว่าเป็นการพิสูจน์ที่ถูกต้องในวงการคณิตศาสตร์ให้เป็นภาษาที่คอมพิวเตอร์สามารถตรวจสอบได้ทีละขั้นตอน และเติมเต็มส่วนที่ขาดหายไปจำนวนมาก

ไม่ใช่ "การค้นพบการพิสูจน์ใหม่" แต่เป็น "การตรวจสอบการพิสูจน์ที่มีอยู่ด้วยเครื่องจักรอย่างสมบูรณ์" การไม่เข้าใจความแตกต่างนี้อาจทำให้ประเมินผลเกินจริงได้ ในขณะเดียวกัน การคิดว่าการทำให้เป็นรูปแบบเป็นเพียงการแปลอาจทำให้ประเมินความยากและความสำคัญของเหตุการณ์นี้ต่ำเกินไป

หนึ่งบรรทัดที่แฟร์มาต์ทิ้งไว้ในขอบ

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กล่าวว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก a, b, c และจำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 2 ไม่มีชุดของค่าที่ทำให้ "a ยกกำลัง n + b ยกกำลัง n = c ยกกำลัง n" เป็นจริง

Pierre de Fermat ได้เขียนข้อความนี้ไว้ในขอบของหนังสือคณิตศาสตร์กรีกโบราณ 'Arithmetica' ประมาณปี 1637 และกล่าวว่าเขาได้ค้นพบการพิสูจน์ที่น่าทึ่ง แต่ขอบนั้นเล็กเกินไปที่จะเขียนลงไป อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์นั้นไม่เคยถูกค้นพบ

หลังจากนั้น นักคณิตศาสตร์หลายรุ่นได้พยายามพิสูจน์สำหรับดัชนีเฉพาะ แต่กรณีทั่วไปยังคงไม่ถูกแก้ไขเป็นเวลากว่า 350 ปี จุดเปลี่ยนเกิดขึ้นในปี 1993 เมื่อ Wiles ประกาศการพิสูจน์หลังจากการวิจัยลับหลายปี แต่พบข้อบกพร่องที่สำคัญระหว่างการตรวจสอบ Wiles และ Taylor ได้ร่วมกันแก้ไขปัญหาในปี 1994 และบทความถูกตีพิมพ์ในปี 1995

เรื่องราวนี้แสดงให้เห็นว่าในคณิตศาสตร์ "การพิสูจน์แล้ว" ไม่ได้เกิดขึ้นในขณะที่มีคนเขียนคำตอบลงไป การพิสูจน์ต้องถูกอ่านโดยผู้เชี่ยวชาญคนอื่น ๆ และต้องมีการตรวจสอบข้อสมมติฐานและทฤษฎีบทที่อ้างถึงเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีการขาดตอนของตรรกะ แม้แต่การพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอย่าง Wiles ก็ยังพบข้อบกพร่องหลังการประกาศครั้งแรก ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของความยากลำบากนี้

สิ่งที่ "ชัดเจนสำหรับมนุษย์" ไม่สามารถเข้าใจได้โดยคอมพิวเตอร์

บทความคณิตศาสตร์ทั่วไปถูกเขียนขึ้นโดยมีสมมติฐานว่าผู้เชี่ยวชาญมนุษย์จะอ่าน ผู้เขียนมักจะละเว้นการเปลี่ยนแปลงที่เป็นที่รู้จักและอ้างอิงผลลัพธ์ที่รู้จัก โดยไม่ระบุส่วนที่สามารถเข้าใจได้จากบริบท ผู้อ่านก็ใช้ความรู้พื้นฐานเพื่อเติมเต็มช่องว่างและติดตามตรรกะ

แต่คอมพิวเตอร์ไม่สามารถคาดเดาได้ว่า "นี่คือสิ่งที่ชัดเจน" ต้องระบุอย่างเข้มงวดเกี่ยวกับคำจำกัดความ ข้อสมมติ ประเภท ทฤษฎีบทที่ใช้ และข้อสรุปที่ได้จากนั้น และแสดงให้เห็นว่าทุกขั้นตอนเป็นไปตามกฎ งานนี้ใช้ระบบช่วยพิสูจน์ทฤษฎี Lean

ใน Lean การพิสูจน์ถูกเขียนในรูปแบบที่ใกล้เคียงกับโปรแกรม มีเคอร์เนลขนาดเล็กที่ตรวจสอบว่าการพิสูจน์ที่ป้อนเป็นไปตามกฎตรรกะหรือไม่ และจะไม่ยอมรับหากมีการกระโดดข้ามขั้นตอน ในแง่นี้ การพิสูจน์ในรูปแบบเป็นการทดสอบอัตโนมัติที่เข้มงวดมากต่อข้อเรียกร้องทางคณิตศาสตร์

ความยากคือการที่ไม่สามารถแค่แปลบทความของ Wiles เป็นภาษาคอมพิวเตอร์แล้วจบได้ การพิสูจน์สำหรับมนุษย์นั้นยืนอยู่บนฐานความรู้ขนาดใหญ่ เช่น พีชคณิต เรขาคณิต การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก และทฤษฎีจำนวน หากแนวคิดที่จำเป็นหรือทฤษฎีบทช่วยเหลือไม่อยู่ในไลบรารีที่ใช้ร่วมกันของ Lean ก็ต้องนิยามและพิสูจน์ใหม่ ขนาด 13 ล้านบรรทัดในครั้งนี้เป็นผลมาจากการสร้าง "ฐานที่มองไม่เห็น" นี้ทีละขั้นตอน

AI หลายตัวร่วมมือกันในงานพิสูจน์ขนาดใหญ่

ในการทดลองของ Anthropic มีเอเจนต์ Claude หลายสิบตัวทำงานพร้อมกัน เอเจนต์หนึ่งนิยามแนวคิด อีกเอเจนต์หนึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทช่วยเหลือ และเอเจนต์อื่น ๆ รวมสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อก้าวไปสู่ทฤษฎีบทที่สูงขึ้น เป็นการทำงานร่วมกันในลักษณะที่ AI กลุ่มใหญ่ได้ดำเนินการ

อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ราบรื่นตั้งแต่ต้น ในการทดลองแรก ๆ เอเจนต์สูญเสียการติดตามความคืบหน้าของโครงการและไม่สามารถใช้ประโยชน์จากผลลัพธ์ของกันและกันได้ดี ในการทำงานระยะยาว ไม่เพียงแต่ความสามารถในการสรุปของ AI แต่ยังรวมถึงระบบการจัดการว่างานใดเสร็จแล้วและควรพิสูจน์อะไรต่อไปมีความสำคัญอย่างยิ่ง

สิ่งที่ใช้คือแพลตฟอร์มการทำงานร่วมกันที่ชื่อว่า Prove2Me ซึ่งจัดการความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทเป็นกราฟไม่วนทิศทาง จัดเรียงรายการที่ต้องพิสูจน์เหมือนแผนที่ และให้แต่ละเอเจนต์เลือกงานที่ยังไม่เสร็จและให้ผลลัพธ์ที่เสร็จแล้วสามารถใช้ซ้ำได้โดยเอเจนต์อื่น ๆ การออกแบบที่ลดภาระการคอมไพล์ของ Lean และใช้คำอธิบายด้วยภาษาธรรมชาติในการค้นหายังสนับสนุนการทำงานร่วมกันขนาดใหญ่

ในที่สุดกลุ่ม AI ใช้โทเค็นเอาต์พุตประมาณ 6 พันล้านโทเค็นและเข้าถึงรากของการพิสูจน์ในเวลาไม่ถึง 11 วัน ตามข้อมูลของ Anthropic นอกจากการตรวจสอบโดย Lean แล้ว ยังมีการตรวจสอบด้วยเครื่องมือเปรียบเทียบว่าคำอธิบายสุดท้ายของทฤษฎีบทตรงกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในไลบรารี Mathlib ที่มีอยู่ ซึ่งหมายความว่าไม่ได้จบลงด้วยการพิสูจน์ปัญหาอื่นที่มีชื่อคล้ายกัน แต่ได้ยืนยันว่าถึงข้อเรียกร้องที่ตั้งใจไว้

แผน 5 ปีของมนุษย์และ 11 วันของ AI ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ง่าย

สิ่งที่มักถูกเปรียบเทียบคือโครงการการทำให้เป็นรูปแบบที่นำโดยมนุษย์ที่นำโดย Kevin Buzzard นักคณิตศาสตร์จาก Imperial College London โครงการนี้เริ่มต้นในปี 2024 และมีเป้าหมายที่จะทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นรูปแบบใน Lean โดยใช้เวลาหลายปี

คำอธิบายว่า "งานที่มนุษย์ใช้เวลา 5 ปี AI ทำเสร็จใน 11 วัน" นั้นทรงพลัง แต่เป้าหมายของทั้งสองไม่เหมือนกันโดยสมบูรณ์ ผลงานของ Anthropic ให้ความสำคัญกับการทำให้ทฤษฎีบทสามารถตรวจสอบได้ด้วยเครื่องจักรตั้งแต่ต้นจนจบ ในขณะที่ Buzzard และทีมของเขามีเป้าหมายในการจัดเตรียมทฤษฎีพื้นฐานที่สามารถรวมเข้ากับไลบรารีที่ใช้ร่วมกันได้ และสร้างเอกสารที่มนุษย์สามารถเรียนรู้ได้ในขณะที่สำรวจการพิสูจน์ที่ทันสมัย

การสร้างโค้ดขนาดใหญ่ที่ "ผ่าน" ในระยะเวลาสั้น ๆ และการจัดระเบียบในรูปแบบที่นักคณิตศาสตร์สามารถเข้าใจ ใช้ซ้ำ และเชื่อมโยงกับการวิจัยต่อไปเป็นงานที่แตกต่างกัน Anthropic เองก็อธิบายว่าได้ใช้ประโยชน์จากโครงการของมนุษย์และฐานที่ Mathlib ที่มีอยู่ได้สร้างขึ้น การแข่งขันครั้งนี้ไม่ควรถูกมองว่าเป็นการแข่งความเร็วระหว่าง AI กับนักคณิตศาสตร์

อย่างไรก็ตาม ความจริงที่ว่าการทำให้เป็นรูปแบบตั้งแต่ต้นจนจบสามารถทำได้ในระดับวันแทนที่จะเป็นระดับปีนั้นมีน้ำหนักมาก Buzzard กล่าวในบล็อกของเขาว่า แม้จะไม่มีสิ่งใหม่ทางคณิตศาสตร์ที่ค้นพบจากผลงานนี้ แต่การที่ AI สามารถทำให้เอกสารที่มีจำนวนหลายพันหน้าเป็นรูปแบบได้ใน 11 วัน แสดงถึงศักยภาพของการทำให้เป็นรูปแบบอัตโนมัติ เขายังกล่าวว่าเขามั่นใจ 100% หลังจากการทำให้เป็นรูปแบบเกี่ยวกับการพิสูจน์ที่เคยคิดว่าถูกต้อง 99.9% ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของความสำเร็จนี้

SNS แบ่งออกเป็น "ความประหลาดใจ" และ "ไม่ใช่การค้นพบใหม่"

หลังการประกาศ มีการตอบสนองอย่างมากบน X, Reddit, Hacker News เป็นต้น บัญชีทางการของ Lean ได้แนะนำผลงานในฐานะการพิสูจน์ที่ตรวจสอบได้ด้วยคอมพิวเตอร์ครั้งแรกที่สมบูรณ์ ใน Hacker News มีความคิดเห็นหลายร้อยรายการในโพสต์ที่เกี่ยวข้อง และใน Reddit ก็มีเสียงแสดงความประหลาดใจว่า "ไม่สามารถจินตนาการได้เมื่อไม่กี่ปีก่อน" "ขนาด 13 ล้านบรรทัดทำให้ตกใจ" และ "จำเป็นต้องมีทฤษฎีบทย่อยกว่า 29,000 รายการหรือไม่"

ในทางกลับกัน สิ่งที่ถูกกล่าวซ้ำมากที่สุดคือคำเตือนเกี่ยวกับการตีความหัวข้อข่าว มีการแก้ไขมากมายต่อคำว่า "AI ได้แก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" โดยกล่าวว่า "Wiles และ Taylor เป็นผู้แก้ Claude ได้ทำให้การพิสูจน์ที่มีอยู่เป็นรูปแบบใน Lean" และ "ไม่ใช่การค้นพบทางคณิตศาสตร์ใหม่" ในการตอบสนองมีความคิดเห็นที่มองว่าการทำให้เป็นรูปแบบเป็นเพียงการแปลงรูปแบบ แต่มีการโต้แย้งว่าการเติมเต็มฐานที่ขาดหายไปของการพิสูจน์ที่ยาวนานและทำให้ทฤษฎีบทย่อยหลายหมื่นรายการสามารถตรวจสอบได้ด้วยเครื่องจักรนั้นเป็นความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ในการวิจัย

การอภิปรายยังครอบคลุมถึงบทบาทของนักวิจัยและการจัดสรรเงินทุน มีเสียงที่ยินดีต่อการเพิ่มขึ้นของผลิตภาพการวิจัยเมื่อ AI สามารถทำงานที่ได้รับการสนับสนุนด้วยเงินทุนมหาศาลและแผนงานหลายปีได้ในระยะเวลาสั้น ๆ ในทางกลับกัน มีความกังวลว่าหัวข้อการวิจัยของนักวิจัยรุ่นใหม่อาจถูก AI ล่วงหน้า และแรงจูงใจในการคิดคณิตศาสตร์ด้วยมืออาจสูญหาย ในส่วนความคิดเห็นของบล็อกของ Buzzard มีการแสดงความคิดเห็นว่า "จุดจบที่น่าเศร้าของคณิตศาสตร์" และการตอบสนองว่า "เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เปลี่ยนแปลง แต่เครื่องมือในการตรวจสอบได้ก้าวหน้า"

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะไม่ใช่การสำรวจความคิดเห็นแบบสุ่ม แต่เป็นแนวโน้มของโพสต์ที่สามารถพบได้บน SNS ต่าง ๆ แต่ก็แสดงให้เห็นได้ดีว่าทำไมผลงานนี้ถึงถูกเข้าใจผิดได้ง่ายและทำให้เกิดอารมณ์ที่รุนแรง ผู้คนไม่ได้ตอบสนองต่อทฤษฎีบทเพียงอย่างเดียว แต่เป็นคำถามที่ใหญ่กว่าว่า "การทำงานทางปัญญาจะถูกทำให้เป็นอัตโนมัติได้ถึงไหน"

การพิสูจน์ที่ถูกต้องและการพิสูจน์ที่มีประโยชน์ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน

ผลงานนี้มีจุดอ่อนที่ชัดเจน ขนาด 13 ล้านบรรทัดนั้นมากกว่าไลบรารีคณิตศาสตร์หลัก Mathlib ทั้งหมดถึง 5 เท่า แม้เครื่องจักรจะสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้ แต่มนุษย์จะเข้าใจภาพรวมทั้งหมด ค้นหาส่วนที่ต้องการ และใช้ซ้ำในการพิสูจน์อื่น ๆ ได้ไม่ง่าย

การพัฒนาคณิตศาสตร์ต้องการไม่เพียงแต่ข้อสรุปที่ถูกต้อง แต่ยังต้องการคำอธิบายที่สามารถเข้าใจได้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น การจัดระเบียบแนวคิดที่เหมาะสม และบทช่วยที่สามารถใช้ในสาขาอื่น ๆ ได้ หากต้องสร้างทฤษฎีพื้นฐานใหม่เป็นโค้ดขนาดใหญ่ทุกครั้ง การพิสูจน์ในรูปแบบอาจเพิ่มขึ้นแต่ระบบความรู้จะไม่เติบโต มีความเป็นไปได้ที่การพิสูจน์ที่ตรวจสอบได้จะถูกผลิตขึ้นอย่างมากมาย แต่แต่ละอันจะกลายเป็นเกาะที่ไม่สามารถใช้งานร่วมกันได้

ดังนั้นความท้าทายต่อไปคือการจัดระเบียบโค้ดที่ AI สร้างขึ้นให้สั้นลงและคืนกลับไปยัง Mathlib และเชื่อมโยงกับคำอธิบายที่มนุษย์สามารถอ่านได้ AI ได้เปิดทางอย่างดุเดือด และมนุษย์กับ AI จะทำให้ทางนั้นกลายเป็นแผนที่ ผลงานนี้ไม่ใช่จุดสิ้นสุด แต่เป็นจุดเ